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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 go[4~ D~  
4^5h9`s6  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7_bjd4C0  
Qu^{&5l;  
　　1、三角函数本质： VC`{vf a}9  
RuFuz 6N  
　　三角函数的本质来源于定义 K0 X#O X[  
5fDm8^4:  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 J6{-8xLD$  
dn<iUOM U  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 GZ.bYZx  
sQj4`v ^&m  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;nr\ `w  
Y^ }F0vQ  
　　推导： M4XZ!  
~2fc Y0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 4) ?E -~,  
QZ}{<U=Nv  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) HQ![\k  
M-8eZI`  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |)\YZQr2M  
e?sT zt:2  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;FOA;jiin  
.>\0?(l  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） YzaFQ'&\W  
;mOY}3VS]n  
　　[1] T>s";[  
_:S{~ m"4  
　　两角和公式 ZM"u ;W@  
4F1lVr8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB O w*Lx  
i&9LJbm]  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  A. !9"{  
Zp% .ab  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB n`s`*+[M  
.@2'1B&  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |9*joJ%Z  
8_fYtO  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) M$f~goZ  
4XLa%}e  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) JIP&z-6  
q{%(8q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  A#!cZE*J  
KgbE<9L  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) gz?Nq)fj  
O~2)b="(|  
倍角公式 ]U?Ys4@q`  
O\6-e  
　　Sin2A=2SinA•CosA 06-$%  
nBEG+X|;  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 U$6J`9sVt  
1y{"{^M-  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^y9r] B$u  
:D!('o  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7T<9h4(  
.*HE)phZ]v  
三倍角公式 I.Fu0i ,  
JvT*5Q:  
　　 P ^g Od^  
jM~-yU3+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Q_bpTf2 J  
= &7 D>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ;Gae:`x+_#  
}9'Xp  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }`k!{}",  
C8v5}Q]J  
三倍角公式推导 Yl\6L=n "}  
sY'JlNtnUR  
　　sin3a "_nPABF  
vOzEoO8  
　　=sin(2a+a) 8;2$IL=Op  
(/e[AUoP  
　　=sin2acosa+cos2asina 32_+" 9  
l ~&#!z  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina #qQDu (g  
M?Z INVl  
　　=3sina-4sin³a l![''7#M  
G/9gRn(>|  
　　cos3a 0qQ33LW  
90*:??r=q  
　　=cos(2a+a) hG"~NsU9-  
:_?){G@z  
　　=cos2acosa-sin2asina b:U$ AG[  
KoJ{?WiR/  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  5>%8x"^  
H=[LYM#6  
　　=4cos³a-3cosa .}&"aTVj2  
</]8&h ?e  
　　sin3a=3sina-4sin³a /1 iJf Yv  
.N3Wtfd;g  
　　=4sina(3/4-sin²a) ? b[%{8  
$6vN&D  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] wu9 7}k;  
8Y/HtO  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Uv>m@g  
kOX^:F  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Web-BX^  
[3fS9!5?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] t &e* h  
l4%W%9!t  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) UV({enO  
|vUm24U  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _f9#M]`. "  
_"2aL"&  
　　=4cosa(cos²a-3/4) oo.JI1?i(  
dq%I(ZA]7  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] m`u}pW@  
qjt~*oE  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) eD](3;y!|  
ErA?q` bV  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) i?Wg0=I6  
<H{L Z  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ORm],R F  
o='W~0|  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _Q8 lD  
&:(MGB/WO>  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] J@yeh1L%  
v^VdseU  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] erT,z[*  
vp%Qc_n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) xc 82  
;:s7~S$?  
　　上述两式相比可得 b>RF]-M\  
IHU .tF'  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) A<=H>!dw  
t5Fr 6U5-  
半角公式 4S?c8Y  
Q6^ G'Aq  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); \cGvtJ,?  
Q"F AK@i  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ?npHBa  
#*i:XP}  
和差化积 |*9 8:XI  
alGK>0\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sq)>$_iPop  
EC?H'RNBD  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1tJKj@Qhm  
[r;'Nc  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Sra@u}kS[w  
\d<v!i  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] O2rVpH}{!  
~Z P?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) JCyGe}  
";$^RW@(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Dhi]9Ad4  
shxe 4 ,  
积化和差 <F ZBQE  
`RuXi{`eO)  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 3PKGvq+  
{^v{[ +  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] = c?5/WW  
2gTIi/m  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .C{f%jJ  
0HC$QLu  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Fplhk&K  
 }}FfW;\  
诱导公式 Z"bM$d9M  
kJ>7L  
　　sin(-α) = -sinα }H=00  
,JC2X I  
　　cos(-α) = cosα gIjyfO_  
[DohT2 $  
　　sin(π/2-α) = cosα :h7sz  
L8T%g4  
　　cos(π/2-α) = sinα NNMUYxRb  
;>"J]5p  
　　sin(π/2+α) = cosα &Q){P|GA  
^!x*ih}.  
　　cos(π/2+α) = -sinα !4l =n azM  
\dy3V-K  
　　sin(π-α) = sinα $zFB$iS  
"rvc"bHL  
　　cos(π-α) = -cosα ?:AyI06w  
z6JU[p (!  
　　sin(π+α) = -sinα :AV * n\  
Ob4Eoy}^m  
　　cos(π+α) = -cosα XWoz5&  
q Bmx0h^:  
　　tanA= sinA/cosA Is". $,  
Fo:=N9|,  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα (>b@!Prrv  
hK[ euGE  
　　tan（π/2－α）＝cotα NkHYBGr E@  
Ueu+!pH(  
　　tan（π－α）＝－tanα T& !;j,  
n3--<+e|b-  
　　tan（π＋α）＝tanα Nfp^'.2  
xTEUB-Pu  
万能公式 m[AR}:?:  
k4.aP7T  
　　 f0jNJcf  
|zU3[f1 0  
其它公式 +43<n+ax  
Zlim.Uh  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 4+QbRhI/r  
2M0lm9;|  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 i*y`ff?B8  
9+'~YBiY1  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 xqg\D`/L  
)Zl'w;5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 nqmel3^  
Z(hnj30c  
　　对于任意非直角三角形,总有 ^vxN_r  
f]P\gKS  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y11K%;  
/dA9:b  
　　证: s)}zV7  
jKn>7NY3i  
　　A+B=π-C )+D{*eH  
k 3'R9}S;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) P'4`Q`K  
'Q Nm&fm  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) )5mpvQJWN  
ut<N?Dc#  
　　整理可得 NAkrL@2e  
Voa6!\#A  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R4Op#>g,5  
#A- 8ZdL q  
　　得证 r+9  
X#D AzqN  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 P2~37[H  
6t }/]I3L  
其他非重点三角函数 ]w1f4?]h  
3"omP"7M  
　　csc(a) = 1/sin(a) &}5ML';Sd  
?Xf)\gPWV  
　　sec(a) = 1/cos(a) pTDn& 3  
>Pia8_5=^  
　　 !Y0D"2OYp  
}0wCZ@#;  
双曲函数 `m#v|hQ]  
Q]u91"9G}  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 uqV7VR^ n  
\O 7<<  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 |G`8M?  
w5Im73/  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) PNsE^B23"  
n<x^iYo  
　　公式一： _yGsyJTm#  
~Mr0n6kQ1  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ;i]d"ux  
"y!uSufE  
　　sin（2kπ＋α）= sinα eX2TJL9  
e,]qin w  
　　cos（2kπ＋α）= cosα JS7l45/   
^5`#Xvt,  
　　tan（kπ＋α）= tanα *#tz@*)N  
b j54f  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4Aqq`ty  
e,@`^TkEz  
　　公式二： oCLch]q-  
 1?_\/  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [*(=LA  
Y&WP&4"*M  
　　sin（π＋α）= -sinα (6-x`!.)  
mlP1H  
　　cos（π＋α）= -cosα  0vBB^  
Zv0y7*q!  
　　tan（π＋α）= tanα >' 6$Yj!oC  
i{4=GY  
　　cot（π＋α）= cotα K O2U_nD$  
rJ\KmN\]  
　　公式三： *@`rL/&"  
J li4+O'a  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： G4\Mkv  
z7c_QyD, ~  
　　sin（-α）= -sinα l9!8E  
CPG<!{S  
　　cos（-α）= cosα (o Jswp Fm  
01.o9LC7  
　　tan（-α）= -tanα "| xpHZ &  
HUH&Va$  
　　cot（-α）= -cotα T JBoY}lm  
>[lX<%  
　　公式四： (I#D )Qi-  
e%ptG&~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： v u'h,5Z  
Xe0L g  
　　sin（π-α）= sinα BHv-# il  
:h310<i1  
　　cos（π-α）= -cosα ~7T27nt  
~2~29<   
　　tan（π-α）= -tanα dy(.6 *25  
gG w18DOia  
　　cot（π-α）= -cotα /6;*Q9 F  
qu 12x\F  
　　公式五： f6)I;1  
Ik#`EIDI  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： -WoN WcSO  
=IUg&Izl  
　　sin（2π-α）= -sinα QWp(:YJp-  
jz}&gV3  
　　cos（2π-α）= cosα (.i^D>D dI  
W;`@/GpA`A  
　　tan（2π-α）= -tanα \YS':OBi.  
:?>;v&L  
　　cot（2π-α）= -cotα ! oS|N[  
AFbWsZ  
　　公式六： HM=%eGo?v  
n"ADBKS  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： l8UO$Q8$  
CrbzclQl  
　　sin（π/2+α）= cosα o+!r{Ld/  
tt? C3!^  
　　cos（π/2+α）= -sinα wTJ8o*  
\vK^ -e  
　　tan（π/2+α）= -cotα %;vAf#ye  
Lup]i  
　　cot（π/2+α）= -tanα iJh[?-9  
S~q+xkIV  
　　sin（π/2-α）= cosα 15TGl^m"  
#.*<6<0rq  
　　cos（π/2-α）= sinα s-dk1&DL  
>L+ 6#\w  
　　tan（π/2-α）= cotα ]}lc X-  
*-f&Az["U  
　　cot（π/2-α）= tanα $Ic f|a@$i  
N0^4'<k -Q  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ?Wg,}38  
V~K:+;YD1*  
　　cos（3π/2+α）= sinα bKO"""t>"  
e |"q  
　　tan（3π/2+α）= -cotα kbKnG$s  
4[>eu<m7#  
　　cot（3π/2+α）= -tanα wW%_ %7  
(|}T+e  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 0BNl h0  
m=n~B{& ?;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα n''DPZ +  
/#W(<E<7  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]/*8 _&E  
v).8lJ-'S@  
　　cot（3π/2-α）= tanα !'N1:Gz  
r?8"zPC  
　　(以上k∈Z) q%lV eW'  
;1bp:)$uZ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 m4 q b6  
e{;=k bdf  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = S @!BF>M  
~fAo!^><F  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )AOAa>  
O;h_G-8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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