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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 {yU`Tf](1!  
5C -<QH  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 2@~|{r9r  
m>_,+PG  
　　1、三角函数本质： =s*WZq  
R|3u6<u   
　　三角函数的本质来源于定义 6\7tey46  
GD'nR\y}  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 xUl2-@  
'hJn?rUOu  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 b0|]?dH  
cvy YQt(  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： #!\<naM-  
;Q$;96!  
　　推导： ES3u>cVi  
Og@bqa`9  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 7Fq"p<  
z||@){G  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +AkB5  
QFJ,eW1<$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Qmh*_8t<  
~K uefdJ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ?k#a)@w  
LDUz&mL5  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） :vL9YjWF  
| 0Xdq-c  
　　[1] da`C?&s  
X/udC.[&D  
　　两角和公式 @7gQ +ns  
:rHa!{x6"N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB jzy2t'NdW  
=dE ..wt1  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  WFLdLB#|#  
{ #U T[ E{  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB y!&PY)9p  
_B z n  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 3[/.o6z  
=!>)eFk),|  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Hz*p+U(v*V  
]9X$9.?eD  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 1nN 7rv8j  
(P 3;IwP}Y  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  (%A{o,m  
E6iz MX  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) u1t>|y  
)^MMeAv%*  
倍角公式 `/p4<C2m]  
}=Exe  
　　Sin2A=2SinA•CosA !UN+p~Xh3-  
D7q%iKA B  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 d { N   
h@e0# }  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） +S>i:k~r  
-pW7Mh  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） A'++}f=  
6YKpzZvh  
三倍角公式 @p?U^Pt  
M >kB$b  
　　 d28afxb  
2!oG7  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) J"YJ>.Ev,  
Ed2)!59  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tf8TpB  
m XtWW+|  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) rQK!H<3^  
xqx/$TL3H  
三倍角公式推导 w@IL%I-  
d{O-ERP}h  
　　sin3a tw-XnaQGt  
TJ9_u jd  
　　=sin(2a+a) Bq3IZ=V-6  
i#;$^Tqk  
　　=sin2acosa+cos2asina  "MrYueaV  
pye%18aRjr  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina rx-cncBpn  
)_kb} 1 n  
　　=3sina-4sin³a GZ3#xdmOf  
\GL|5$pq?  
　　cos3a m&;]^^)c  
=/e~Is  
　　=cos(2a+a) 2~~Rm.Lbi&  
xdy.FEFir  
　　=cos2acosa-sin2asina f5 '$09G  
h$o:YS./WY  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa frZ G/  
wAL$KAK\  
　　=4cos³a-3cosa $V/l!8x  
;hlS! ar\  
　　sin3a=3sina-4sin³a Y8.<Vf  
=KXsw{eqK,  
　　=4sina(3/4-sin²a) =O:KFt  
}H yr/  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] igP]cfcU  
?q gmg  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) kz>+{-a  
z$'Fn~1c  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) M<8H@1}QE  
F bR;^tyD  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] >:H(\Ha]9  
&u"F&w}B  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 1}wQtUg,  
S*#" #D  
　　cos3a=4cos³a-3cosa >l5mLK2  
Zb!tD5  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ]%e G Oj  
P }-50 K  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] (.+Y<Y  
*3P6J<!Q  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :R5@!|[K  
O7 X {?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) *MN? [ &Gh  
6 f%(_`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} xY3Qb+  
.W-Ax43  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) #[ lQ/drn  
A) *N 8Z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] uyxSNIWT  
;&n)X6O)  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] E`O[r6  
.5wT;\W$  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) aqHnLA  
u4WSqA"  
　　上述两式相比可得 <PnI9p_O  
jW&HwWOH:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) =w8g=Fnz  
+~3[Zo<r-&  
半角公式 =VPmheq  
\SFx<G  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); YBi1x&lw^R  
I h^pM/P  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^^topKA  
<p&&RSc(  
和差化积 pds|3T>a>S  
>1W3dJq  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N70.9.(W  
&QE] ]`x  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] .Rm6=q{-  
o8e-F  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] La"XD# PY  
P:S&)^gC  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &"^0.np H  
.-,x ,]b  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 4{<V381  
]QFJQw_l  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;~T$]792j  
Xj:io/M9R<  
积化和差 !i`z a-o  
#uh -Be}  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] vFB K: EI  
2Dt. i8a  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?"A5F  
3ze3*MxQ/u  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2o5 tD]  
(@/kxd )  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] T#k"R<~  
P!SM4RQ  
诱导公式 cE iB; C  
L/V r;sh  
　　sin(-α) = -sinα f%Vi>p  
rd%w 0i|g  
　　cos(-α) = cosα {*DS$dZ  
[9 ];Sm<  
　　sin(π/2-α) = cosα   3THE  
&m?1:A~p  
　　cos(π/2-α) = sinα F_ejEY2~  
8*Pzu Nt8  
　　sin(π/2+α) = cosα v1s*mNC%  
|jcv)!y  
　　cos(π/2+α) = -sinα }QJ95aNe_  
T#<X"N"_v  
　　sin(π-α) = sinα \QMLt1 (  
=lkiqu5  
　　cos(π-α) = -cosα *@Ye"2`  
x$ky :@x  
　　sin(π+α) = -sinα 5Y]7+<2X  
%1i;JLUz  
　　cos(π+α) = -cosα {ld{R  
BNy-Q\<  
　　tanA= sinA/cosA pyUNkfaw4  
f 3y.  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 4J4^]wD?a  
#*YN 5\[c|  
　　tan（π/2－α）＝cotα 56&C3) x-  
hU6K^rs9y  
　　tan（π－α）＝－tanα ?"yeQyF  
P|W{>8E5  
　　tan（π＋α）＝tanα 6ARi ${  
Cw+bfYVF  
万能公式 y'O7Hn)>~V  
=U_ )dN[N  
　　 Vi '0\LS  
#F_*DSK*<  
其它公式 = Kg gV{  
C YR1Mz`Zm  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 sGit^)9*~  
zTw- iJ `  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 w$:LL9hR  
;Y[@vpbB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 hY-O)Fiw/U  
z0T|Vv.2  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {OQ57+zu  
Na|,  
　　对于任意非直角三角形,总有 /m%BU g  
DAu"'3&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC H`RWB&:  
~~9n1 o~z  
　　证: m~# YsN  
%sz@z'x0  
　　A+B=π-C nnhFBvQ/n  
 (qUc-M\  
　　tan(A+B)=tan(π-C) :AO3~M  
2 /iA -  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) '<nh, V  
=WVP\al  
　　整理可得 5`4~"c  
ps5kok6',  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC o&W[e&.n1|  
y2? {w>VP  
　　得证 YHCEw, z  
6tgiA t(  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1P~sB.Q$  
lC_4u'6^p  
其他非重点三角函数 LS''$c,`v  
6! zT6 U  
　　csc(a) = 1/sin(a) \5C4hz|oz  
*FD!0 H{  
　　sec(a) = 1/cos(a) /I *1:BOA  
](()$3w`)  
　　 ,@1-:c(#Hg  
|y-^HA+9  
双曲函数 Yt=&c (,~  
(!%iSE  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 '[,1H;,%  
E@lr;occ_:  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "-Q%r9,R  
V.\fsc{dw  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ~YzF`>5!"  
}}>;6p'W  
　　公式一： jT<rAG*5  
*dG*QK  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： tPn->55?!  
o|ga Z  
　　sin（2kπ＋α）= sinα u4.M"  
jrS]A ic  
　　cos（2kπ＋α）= cosα XLfm3iTo  
2MV|u@f   
　　tan（kπ＋α）= tanα '$NFoRi.  
WGPkbvLh z  
　　cot（kπ＋α）= cotα ./u]++y;  
6>SDw  
　　公式二： Y"nN/hO%y  
y=( G(.b  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： zbcVv'jt/  
~&GaX8n  
　　sin（π＋α）= -sinα M<gx2UCx  
` Drb\8<z  
　　cos（π＋α）= -cosα Nv&>2bo  
Lw+hNEV'V  
　　tan（π＋α）= tanα P$411-3II  
R `PKck}~  
　　cot（π＋α）= cotα @]:h/i$u  
b-F".Ea  
　　公式三： ,:(NX\  
uv]'/ztzb  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 4;{k0v"sBd  
 y|_ %7f  
　　sin（-α）= -sinα P$r]D  
sBzW#j[  
　　cos（-α）= cosα {$uM\iVG  
i )C.]7  
　　tan（-α）= -tanα k / c)'  
A9Yw@>Rz  
　　cot（-α）= -cotα T^%Lr^l  
Lt$:5D)`^  
　　公式四： _n"U+FH3  
!YT|g2  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： .uX/rDF  
/Q3S]BV  
　　sin（π-α）= sinα #Tis:jC}  
1.Xe~j  
　　cos（π-α）= -cosα N+n & ,AG  
Skb4rS@}  
　　tan（π-α）= -tanα *_O f41c`  
g]w`rvImJ  
　　cot（π-α）= -cotα 2-cD)df:%  
%B`}Fe8WA  
　　公式五： s&(Y*DUe:  
[,MXz  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： AwVRFZy5l  
!K ,u}  
　　sin（2π-α）= -sinα BgS'N4fd  
xAlA  
　　cos（2π-α）= cosα V tLJD'H  
YEUVtV@  
　　tan（2π-α）= -tanα qEfaeI`  
XfkkEzJ  
　　cot（2π-α）= -cotα 5.p#XLM<*  
P NnJFf  
　　公式六： ,lc`P 6I  
%J'e2+:3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： lq q`|L  
Cic4)C/0l  
　　sin（π/2+α）= cosα @cx  
bE6lBDw5sa  
　　cos（π/2+α）= -sinα Qdkq*`@  
oUm=m}~;  
　　tan（π/2+α）= -cotα EjBc>] s  
#aGM6'qW  
　　cot（π/2+α）= -tanα #P/Y:^*)  
Q:4R<SSe  
　　sin（π/2-α）= cosα sz bR{nn2  
mJMZ s6<  
　　cos（π/2-α）= sinα <z.aNTg2<  
SXzlfyDH  
　　tan（π/2-α）= cotα " ?WH  
Nti;rqrwc  
　　cot（π/2-α）= tanα DMXa>  
{A08R^kHy  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8z~ 2D8SX  
XhO2c13$xZ  
　　cos（3π/2+α）= sinα :&* {  
J_,>2fy  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^N'O['T.  
kt"Nxpb[F  
　　cot（3π/2+α）= -tanα itFw#D  
O:6c.bD  
　　sin（3π/2-α）= -cosα vN^9^C9y  
Dg/i~M-.  
　　cos（3π/2-α）= -sinα I2z9/0z  
qYzO{.#o7  
　　tan（3π/2-α）= cotα Vft\Ps[p  
2&3= vC  
　　cot（3π/2-α）= tanα nG|TOiUcv  
y9Ji4?>N  
　　(以上k∈Z) YIa!d'|W3  
*4Eb<J  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 C%6A=:  
ZaX:9{Fr  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :C,bgyR  
; _]nuX~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Mc!D`%]SOt  
\u;Lrw*l  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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