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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 oy" zpz  
+Pcs^7D+1R  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ZWp,Np-Z|  
G;q3 hQ  
　　1、三角函数本质： dz$W# i@  
J :%^  
　　三角函数的本质来源于定义 }hOk*g  
%nv1jnx  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 kMd?}iJ?  
{7I#VSt  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 B[*|Ce  
4e!q9R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： X$HNev@AVH  
WkxD;|Pp  
　　推导： RV[ fvlNc  
3:{_x M  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 _rwUC6.  
Ro@&bD+`?  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) O|3;kBY  
*dX ~~E  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Iue,>Va  
1j>h .bK  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Ip!u ha  
xR%K]3e,]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） '',$#o  
3(7n}K~HR  
　　[1] hGx=-?  
/<D?X+wR  
　　两角和公式 C YFTH  
0,N-:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB kF;vbwfT  
4/ |9x3qM?  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  r}!} 59k  
(6oVQ&  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB O"liR   
s- $ 4l  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB @C>~< W|  
J5)8`=Wl  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) "zO).x` I  
]3`tUAs]  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) tb(V,{8NY  
ZeLKw8  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  *8wz  ].  
Qozy %  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) YMq<H3 >  
8F a^  
倍角公式 $o0lc$R  
@q (  
　　Sin2A=2SinA•CosA " x>^{9jv  
/OR+cVD}5  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 td4-Z~x>i  
d_&( ;G)  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Mi!|fg  
XK]epcs2:  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） XCaeBcBK  
8+3OX4D %  
三倍角公式 O{E=z1  
zgq6jS|a"&  
　　 v? b:]ADR@  
Nv@qiZOjo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4#~9p3{i  
X728Iq%DP  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) [$n8>+`  
>iyZkrA  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) =P\iG!"  
Uj{C7(T}  
三倍角公式推导 >92 ]8 10|  
L@v`>` _S  
　　sin3a -`*7!6E{Y~  
X*sZ}g$""  
　　=sin(2a+a) X|$#U:ig  
po`%vO  
　　=sin2acosa+cos2asina 2=uz';>  
 fbnUe|F  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina N4@U8mN  
D#fqPq;  
　　=3sina-4sin³a x:Aa)_oX  
oLU'ug ij  
　　cos3a drnj]Ao0  
*f N=e-  
　　=cos(2a+a) o OA9(R  
UB&L{ "  
　　=cos2acosa-sin2asina z*yeX AW5I  
g/aC\Z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa x@|T%oX  
J?N>KoMK  
　　=4cos³a-3cosa <K?x4G  
{~R(JU(*  
　　sin3a=3sina-4sin³a T>Rrb"{y  
YP!tqO  
　　=4sina(3/4-sin²a) g%FCtrd  
)H!-cXnh  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] zhI0 -c=  
uF:5+  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ,'Whb=Ug  
iOh v  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :qn(9Lw  
n8-XkX  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [E~OHW#Bh  
;xJ;uH8m  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Q J9<y:~q  
cw}7 _  
　　cos3a=4cos³a-3cosa wKpbn@Y70  
x2 X4?p  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 52~*1LGc  
T23_]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] W6bB Y;  
9BQken  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) '- VX=:t  
T% P=whT2  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) C4 eK<ix  
Ql<G)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} XJd$4{j=s  
|X6yij$0H_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) JJWf'x\ s  
|`5G94  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 9^3k|  
< }.+)p"n  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] $A.Mf&0m  
L5oC$  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 53A;]e?%!  
*g5.xxp  
　　上述两式相比可得 H;Gopzef  
RNWc%_u  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ss {|QVZ  
~Muobt9fB  
半角公式 owtc56/]#  
 &rB` b  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Ert0VO]A  
B:l|AQt:9  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~> bu=%U}X  
v^RL}5Z Q  
和差化积 7C,f1R]~  
^-l|$>#  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z\\ &T\{s  
(oqrR  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] jK'^dK_l  
-( Zp ; Y  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] |B\Js:o'  
E2iHj.E/y  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DweOioT7cb  
  VR/  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6hn>6K*[  
T &jUKQ1  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) y7![zqEuq  
4HuENY,[J  
积化和差 gf%)Y;z5?  
<=#s%AcEy  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] . l\u>`;  
# >~>9t  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >]Lr s@q+  
@!:Z|}Aw  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] w .qncl8tn  
f[h+uv  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] T_Y,Xe  
37; W x  
诱导公式 ;UI|52#  
d$78|xX=  
　　sin(-α) = -sinα 7y_jU'N  
uRx\:Ag3e  
　　cos(-α) = cosα 6.YOt9 Z  
_~iCb3g4;"  
　　sin(π/2-α) = cosα E6G&HV|l   
s=5}Ne! @Z  
　　cos(π/2-α) = sinα 88aU.we\  
GHJR7Z&7  
　　sin(π/2+α) = cosα ]-G};s<\  
CGa \>.  
　　cos(π/2+α) = -sinα + 3@(QXh5  
#'Dj;eQ  
　　sin(π-α) = sinα ]ktOr#  
L~mHZ/=G  
　　cos(π-α) = -cosα MBT cn)Ft  
wV*Ig-:  
　　sin(π+α) = -sinα NN\\x"&P  
8+x_I  
　　cos(π+α) = -cosα :{mS2@D  
|OY\Y`:V  
　　tanA= sinA/cosA A{bR!b eQ  
yJ ~srqYy  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~(<BH9<|  
/| q~mD$  
　　tan（π/2－α）＝cotα .hm'` |t  
*ifm" D2^  
　　tan（π－α）＝－tanα -9f  
QZ!|i+  
　　tan（π＋α）＝tanα ai!aY6  
c9&dL%ug  
万能公式 (nM?:ZZC.  
TT0 z{|:  
　　 L&d)v)P'  
aH_9U0.G  
其它公式 6^b24G h&  
klFxSFG  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 "\<INp< G  
vZ x]Ho4  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 =SC':rF;  
v>@7SphR3  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 LHNb=d,#  
qx Achu4  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 uEMMQ[  
aXG\Y+D  
　　对于任意非直角三角形,总有 Lpy)zRa  
e_u\/eaV#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zW"5D9  
yi >vD~  
　　证: u`!,+OW2  
\!w#V?Qvn  
　　A+B=π-C m5]Bcv  
L1M`6[nGm  
　　tan(A+B)=tan(π-C) n2yGHs  
mI^yxue4  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) )q1 9KP/-  
myD)'4  
　　整理可得 [qooL85  
qt` Y  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {T (@a  
Wq@S  
　　得证 qgN&CT  
XG^MNU  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 N^#few  
x};enQ=C  
其他非重点三角函数 x[QW&"}S=  
. 0]bNz  
　　csc(a) = 1/sin(a) 51C9=fA  
^'j)9  
　　sec(a) = 1/cos(a) dK!S3E;s  
mLYuold  
　　 2$$Z1%r>  
9)FKWu7]-  
双曲函数 12H>?cgQ&  
ag+7!{hR#  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 _lC37^SQ  
fp?DfedN  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ,"pQ<nr  
I0%nk  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) )Y' u~|1  
xp3&;<h  
　　公式一： }gS-,o1  
 8NU2lnb  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： bkZn1La  
\S*zdN%_  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ! w.Z 1  
oz6Xx ~  
　　cos（2kπ＋α）= cosα W0JXTjY2W  
^tT"KNy0  
　　tan（kπ＋α）= tanα IG*+fFLB0  
6vP"jX0  
　　cot（kπ＋α）= cotα oAa 1 T\c  
efOy6RC  
　　公式二： 9K|P-j%  
fD. Eg M6^  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： bdRYUG|+  
Gh M-Z;  
　　sin（π＋α）= -sinα vi "8b  
# b^t-VT>  
　　cos（π＋α）= -cosα AK8:l-  
?qt? qY  
　　tan（π＋α）= tanα i6sO\bu<  
~B(tL@T+e+  
　　cot（π＋α）= cotα w}qUQ=^!  
#XuK:8S#FL  
　　公式三： /93* #jf  
#>y?HqyGo  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： R+_*7d}  
C82j-{w=I  
　　sin（-α）= -sinα B?yvvh)GWF  
t:WN%:53  
　　cos（-α）= cosα ; f1H&Q\  
7lJ<6w,l  
　　tan（-α）= -tanα CTQ@ Z1@  
F q!@Cu  
　　cot（-α）= -cotα @ ?vrecI+  
D)>_1Nv_3  
　　公式四： W`hV= e  
vFj=oc  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： _2Q/l0_r  
+B}$^ pl   
　　sin（π-α）= sinα fdzeM9]&P  
Q];/T-1>fy  
　　cos（π-α）= -cosα Y/<,tj_ k&  
A~=q,\ [  
　　tan（π-α）= -tanα {Q(m&8!f  
3uq @X~~  
　　cot（π-α）= -cotα Fcz;<Gq}  
y L4#w_m`  
　　公式五： `f&Zs_gs  
.W``F3=)  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： HJ 9m [  
:ScCMU  
　　sin（2π-α）= -sinα $$ S&wr :  
n@(Vdy+6  
　　cos（2π-α）= cosα uk:}/9i  
vjFSl-  
　　tan（2π-α）= -tanα pFpX!83 4  
)]So;v4  
　　cot（2π-α）= -cotα z*B?[Mj!  
hD7,K  
　　公式六： 2PV@F :W  
_Zu4=\~<  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： =s{ O/P  
xNcJI2icV  
　　sin（π/2+α）= cosα @^V?!X K  
Vfh7*|JX(A  
　　cos（π/2+α）= -sinα }1e. r+  
!w2G;qcX  
　　tan（π/2+α）= -cotα Jw_X!=#ro  
8.^JLgl.*Z  
　　cot（π/2+α）= -tanα "&*n$Hh  
^^#ZLlf  
　　sin（π/2-α）= cosα ff] y}A   
.X*~%pSmgu  
　　cos（π/2-α）= sinα g$kY@_x@(  
v~jJfb7  
　　tan（π/2-α）= cotα \nn{%b  
.(0x&#JgRS  
　　cot（π/2-α）= tanα (Q) GLlV  
o>_C'"d/  
　　sin（3π/2+α）= -cosα q,  (wcm  
0\Y=|$-n6  
　　cos（3π/2+α）= sinα 1{*p J-  
|]w"WVn\  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^!afx7~:I  
;[w d=!3  
　　cot（3π/2+α）= -tanα UUNx_jo  
n.W4AsQ!  
　　sin（3π/2-α）= -cosα XIZQL rL~  
OPv#'c;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα l?>0C(0  
Oc3~$0  
　　tan（3π/2-α）= cotα n`a#J^ wk(  
U#r_3'p:  
　　cot（3π/2-α）= tanα ilALSHt/yH  
:gSoN_b'  
　　(以上k∈Z) 5!E=gdMJ(  
9Z!sm;TI  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 "A~|P5|}J  
% w~k #oW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = L[ieXV)  
5S5*>CvJ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } WzR=D 64@  
 :7EZWa G  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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