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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 & gARy9'  
k'p=})kw'  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. fMM0~2 xb  
[XOR)Xk  
　　1、三角函数本质： &2*" 3Q63  
xF:gHFN  
　　三角函数的本质来源于定义 ]RB|^f  
fss$n/\kh  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ,1}wM7  
Gr` v+SnCd  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sa,0[ta  
!Z($ o@Q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7_9@ |R\kM  
l{}7e>?  
　　推导： 4Zw N#CX{:  
12O9`gZn&h  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 nF!z/1~A  
4NH(4`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) w><aB s49S  
6Q,r'n=f+S  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qtoFO!<-  
w@Ma;wsbV  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 :$mEZXj  
E>|[ AN  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Xwb<kTly  
I##6qyvp*  
　　[1] <G\V!55pFz  
+Jje:{'  
　　两角和公式 cRV0*|4  
(-$p@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ~=3?jym  
N &8K  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  &uj~&b  
:zpTO!A#+Q  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB w@9$?<hz  
Hy`}.oe0g  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB X xt_   
e^m[Zr80R  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,E]>I12M  
+{!X$ddKb  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) adFQxM2  
=?lOaY;9  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  !E_N$LmC{q  
.vu!(/  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,`'y-iJa  
`q<[EZ4  
倍角公式 U'N}&ylL  
w33N `  
　　Sin2A=2SinA•CosA Ov#c0e87  
8n<@w  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 |8{f,WTpQ  
0xM`yr^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） %80iE?$z\9  
^eysYe  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） m7U'_U-|  
({3(%U6  
三倍角公式 wahWO:A g  
/=\K& EM  
　　 GSg q*#+br  
|A[n`bx  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) d>8@2&*6  
)_r "Tu=FM  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) !XfaPEl  
 b-IR;1)r  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) O-1cNfO_  
\|t;,BO  
三倍角公式推导 xP^ztar  
jUx={  
　　sin3a u _s&7%/  
? &{ fFVDT  
　　=sin(2a+a) !. yS  
?5)^1>s  
　　=sin2acosa+cos2asina eq;v UP ,  
:}^oXeC  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 71zq1 |@3  
(fRHI=o/  
　　=3sina-4sin³a Zvy/[wDCJ  
f43dhk^  
　　cos3a nR&}GL`5  
{AZ-;@~d  
　　=cos(2a+a) >JK"W#A  
R&fM#OQsV  
　　=cos2acosa-sin2asina NZ(2@Su  
p5v dbe4  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 25aM[ QmR  
_Zgq^y)2/$  
　　=4cos³a-3cosa %5H@+  
^,&Oc#X9 K  
　　sin3a=3sina-4sin³a l++n5dlI+  
h$n3Y9y  
　　=4sina(3/4-sin²a) }S=,!eI[Qh  
RTJY?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] = XIs=Hhu  
8W|OdB.U  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) QVWb3\K  
!X N=a   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /}+UC(~I  
&FqS L)5@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 4Z_ 52\e5)  
]D(TD%e'qr  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) }SD0d_xqH  
f/`O+A m  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 'hDXj {Vz:  
QtNo#*a(\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Szg]k"hv  
Dv29|N  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] y38YG!zqI  
):#U2Y]  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) =Ap1'/  
E$Tq'}It  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) hUdcB l  
C[N j" k\  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} zqcEDS0S  
fz2*aNZ@  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]osRSD:g  
3ieJOb.u  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] (R*Q;R) u  
&&6@>'_4  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] K*ReM.(~  
K7li?y?Q  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 1BVo] $j  
GPfyPvs  
　　上述两式相比可得  M%j`  
xG!>l =c*-  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Cngm?T}#  
(7:$CE|  
半角公式 bn~xhg+ae  
: o4sX-H7  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Lt7b)B}!:b  
iK7g}@kI@  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. I{t$!}VL  
skHzz  
和差化积 F"`#:w4~rI  
t HdhQ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] DsGHevkY  
2<f[w@p  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Lf BoL  
XA%a"zg  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 15c'TW~F  
. '02 Z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t"&plWFE  
}$! 'w  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Q)T"Nv  
\v1G_f-@  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3|F4ACHx  
Mmw 4o`A  
积化和差 I!rW/[t  
UR'S10>I  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] O>X"e0 x  
>J<EUX, .k  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] BIAZre Dx  
vH|Zq  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] n0F&xt%,@  
svE\Q/el  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] r#iSR8  
b|ZMQ1D_  
诱导公式 \E@"<jjB  
cCjt|HA.{$  
　　sin(-α) = -sinα !0gdgyKf-  
Do>m<f+]u  
　　cos(-α) = cosα OPM 3+o  
[n4a 8 a8U  
　　sin(π/2-α) = cosα _v"X1B!;s  
2{4$rg*\  
　　cos(π/2-α) = sinα \M]Om{4c  
{EvuL1fZX  
　　sin(π/2+α) = cosα 39Rck7XW  
l`ILpC.E  
　　cos(π/2+α) = -sinα Op,>}i7+W`  
Ew] 3+1m  
　　sin(π-α) = sinα Iw.AK7+  
=|d}[,f  
　　cos(π-α) = -cosα TF6lPr^<  
( =qFwF  
　　sin(π+α) = -sinα :\ \j\jx  
~;1sk-  
　　cos(π+α) = -cosα leHHM $?=I  
PA5D.gh@"m  
　　tanA= sinA/cosA T]w&t1%  
60[e;|8hI  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα kRjp*ukfy  
 &oIFG9H  
　　tan（π/2－α）＝cotα Z_YwQwF.2  
3,lu6J#c  
　　tan（π－α）＝－tanα BiA7cMD#  
(/*1G-t  
　　tan（π＋α）＝tanα K7]FjEW t  
5DQ{`L$d  
万能公式 !Arw_CNx  
IO/A;_(  
　　 cVZ KC,^T  
Ux kTE!3Z  
其它公式 #lWvWl(9  
,MO R*f^P  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0LDW4E   
&hcE$[  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 @)a UL{~  
yc"mCyz&k  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 6,p5r>a  
A_rpMH@{  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -:TB[yQg^  
"MY/L%0';  
　　对于任意非直角三角形,总有 h+Cl"\  
Y*$h c\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y<PCm!=^  
Ofb4w#F  
　　证: !@'7 kd{@  
qc 6R<}a  
　　A+B=π-C wF@ 0!U&  
F[k-  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 1F$@H6?x  
A_H"ye%_  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ;.SMY  
;Bz5r,  
　　整理可得 xU9)I,  
/BA#O+/>=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?cBr-8];  
$1ALti  
　　得证 V0.'\8`A  
v*2<OD4  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 WdQEP;\  
G ,GwczCb  
其他非重点三角函数 75p'!=U  
.y,HnBDG  
　　csc(a) = 1/sin(a) qa{X4h{H  
o:9MWl;-  
　　sec(a) = 1/cos(a) QXaV }_  
8R\ii9  
　　 %g5= %H/g  
3)Qp_i@ #  
双曲函数 Z$)5-?`  
HWUTe  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $dCgp8bY9!  
}K* Mm` (  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 EIDoJz  
Pb^rtR>IS  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) <^51TT!  
a3i4V9Z  
　　公式一： X06|m[)  
!FqMY+FZI  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Y-KI7uw  
~z!(k|m  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 2IX+K6 G>  
u[5!2  
　　cos（2kπ＋α）= cosα $T% bte  
|zwu+M0?  
　　tan（kπ＋α）= tanα >zWB)+iG  
%(f=*z  
　　cot（kπ＋α）= cotα jpI7Cgmu\  
q!$!j>  
　　公式二： KCZ#^2R?m  
Gr8tR!}w$  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 2-M"ELH']  
As6(,K*)  
　　sin（π＋α）= -sinα q[?\fM)2n  
c{EDOz"|  
　　cos（π＋α）= -cosα Kgj&e*<)  
VH|T>w.  
　　tan（π＋α）= tanα 69o7S6xs"  
(cvD9&`  
　　cot（π＋α）= cotα \xIBJ|p)  
kgiODty  
　　公式三： 5< bciD%>  
J"V  <B  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： CL7ama  
dAN[e$l_  
　　sin（-α）= -sinα pS)h?b&6j  
>U.lp 'gG  
　　cos（-α）= cosα "9\ou  
5t#2| `{i  
　　tan（-α）= -tanα )@,o"{z  
iPVFAmYf  
　　cot（-α）= -cotα 8#9R 3$\(  
9{$%>JtK  
　　公式四： _V#b~hA.r  
UFNVpk  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： W C'I\/G  
0>k@ o<  
　　sin（π-α）= sinα ~t<8'8vOA  
VEj@kY+  
　　cos（π-α）= -cosα g1.%I8kr  
^j'V`8g:Q  
　　tan（π-α）= -tanα >PtL{|  
@#Xbn#+  
　　cot（π-α）= -cotα D!(r4V?C  
-T$60  
　　公式五： U3,I~$>  
TitKV~Pyp  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `Y6On#s  
SZv:P  
　　sin（2π-α）= -sinα Yy%}qj_:  
e^"Xgv^c  
　　cos（2π-α）= cosα Av-s  
T?:TfrBX;  
　　tan（2π-α）= -tanα H%wWB ;  
A '6m;s<w  
　　cot（2π-α）= -cotα 'V0QOZ0  
onsr0#=  
　　公式六： <TZQCzJ(  
?F`r<e:F  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Nem+Ac  
f?X~h%G|q  
　　sin（π/2+α）= cosα gF)n*J]  
^+hcQ*4U  
　　cos（π/2+α）= -sinα 't@fy!J  
UzOZ`\6A.  
　　tan（π/2+α）= -cotα =QPg/-jTC  
J1:\2n   
　　cot（π/2+α）= -tanα 4b6W(/P.L  
9#'6Y8y  
　　sin（π/2-α）= cosα cZc#jVD  
om*=-  
　　cos（π/2-α）= sinα 2fuH!H}Y 8  
nT;mPK{T  
　　tan（π/2-α）= cotα 4)M\WUqo  
~|vu w  
　　cot（π/2-α）= tanα +ce4dgfddS  
O*)o5Rm  
　　sin（3π/2+α）= -cosα h jfBVJ}  
i+7Ao"<   
　　cos（3π/2+α）= sinα /iI!@v({  
9%lD~u%K  
　　tan（3π/2+α）= -cotα }ozQh&)d  
0VNt;1 `  
　　cot（3π/2+α）= -tanα k'A?Kr\J9  
0 - =]f^  
　　sin（3π/2-α）= -cosα iaWY0]J%2  
W>FZDem  
　　cos（3π/2-α）= -sinα C@Ktvs3  
r z\(gqf  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9gHixH@!(  
*nb &9I  
　　cot（3π/2-α）= tanα uW> @  
sW] | @X  
　　(以上k∈Z) e| Hv%f  
"umXk7Fm  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 /mx!,g9#  
GuJ+TOL  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = W-v|M  
[):XghOYC  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %-m;b`Q "d  
h+&P u-CO  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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